Największa liczba na świecie to nie miliard i nie bilion
Oprac.: Marcin Szałaj
Zamieszanie, które zawsze wywołuje różne nazewnictwo liczebników w języku angielskim, wcale nie jest dziełem Brytyjczyków. Historia jest znacznie bardziej skomplikowana, a za obie wersje odpowiedzialni są... Francuzi. Jeśli jednak wydaje się nam, że miliard czy bilion to wielkie liczby z pewnością nie słyszeliśmy o liczbie Grahama. Jej wartość jest abstrakcyjna, nawet jeśli porównamy ją z objętością Wszechświata wyrażoną w ziarnkach piasku. Nie obejmuje jej więc nawet skala kosmiczna. My spróbujemy... Do czego służy liczba Grahama?
Spis treści:
Długie liczby. Ile zer ma miliard?
Dziewięć. Problem w tym, że jeśli spytamy po angielsku "jaka nazywa się liczba, która ma dziewięć zer?" to usłyszymy "bilion", co po polsku oznacza jedynkę z dwunastoma zerami... Z tym problemem na pewno spotkał się każdy, kto w szkole uczył się tego języka. To także jeden z najczęstszych błędów przy tłumaczeniu różnych newsów czy statystyk.
Obecnie na świecie równolegle funkcjonują dwa systemy nazewnictwa wielkich liczb: skala długa i skala krótka. Choć obecnie linię podziału wyznacza przede wszystkim język, korzenie tej nieścisłości sięgają XVI wieku i zamieszania wśród naukowców francuskich. Sama Francja kilkukrotnie zmieniała już stosowaną skalę, długa obowiązuje oficjalnie dopiero od 1961 roku. Kwestie językowe też nie są takie oczywiste, bo jeszcze w 1926 identyczny dwugłos pojawiał się między angielskim amerykańskim i brytyjskim!
Ewolucja nazw dla dużych liczebników rozbijała się o niuanse języka francuskiego i włoskiego. Z grubsza można to sprowadzić do sporu, czy słowo bilion (pierwszy raz użyte w 1475 r. w formie bymillion) powinno oznaczać milion milionów czy tysiąc milionów. Pierwsza była skala długa (milion milionów), alternatywna forma zaczęła pojawiać się w pismach regularnie dopiero w XVII wieku. Początkowo wszyscy ówcześni leksykografowie uważali to za karygodny błąd.
Nie zmienia to faktu, że "niepoprawna" forma rozpowszechniła się w brytyjskich koloniach, które przeobraziły się w dzisiejsze Stany Zjednoczone Ameryki. Na początku XIX wieku Amerykanie przyjęli ten system za obowiązujący i ujednolicili nauczanie w szkołach. W tym samym czasie Francuzi - w praktyce ojcowie i krótkiej i długiej skali - to co ich językoznawcy 150 lat wcześniej uznawali za rażącą ignorancję, przyjęli powszechnie w literaturze naukowej. Z pewnością ówcześni tradycjonaliści lingwistyczni byli tym faktem oburzeni.
Miliardy i biliony są jednak niczym, w porównaniu z liczbą, którą często określa się jako największą liczbę na świecie - liczbą Grahama.
Większa niż wszechświat. Liczba Grahama, czyli co konkretnie?
Wszyscy wiemy, że w matematyce nie ma czegoś takiego jak największa liczba - zawsze można zrobić +1 i dlatego od podstawówki osłuchujemy się z abstrakcyjnym terminem "nieskończoność".
Liczba Grahama bywa tak określana przy przyjęciu jednego założenia: gdy rozpatrujemy tylko te liczby, które znalazły zastosowanie w twierdzeniu matematycznym. Innymi słowy, jest jakkolwiek użyteczna.
Zanim przejdziemy do karkołomnej próby ukazania "wielkości" liczby Grahama, zaczniemy od równie trudnego zadania zarysowania twierdzenia, w którym została użyta.
Chodzi o uogólnione twierdzenie Ramseya, a dokładniej jego górne oszacowanie. Problem, którym zajmował się Ronald Graham w 1971 roku, Wikipedia definiuje jako "udowodnienie istnienia takiej liczby naturalnej n, że w dowolnym dwukolorowaniu krawędzi grafu pełnego powiązanego z n-wymiarową kostką jednostkową zawsze pojawi się płaska jednokolorowa klika K4 [...]".
Spróbujmy teraz jakkolwiek przełożyć to na język polski, który da się zrozumieć. Wyobraźmy sobie kwadrat z narysowanymi przekątnymi. Naszym zadaniem jest namalować go za pomocą dwóch flamastrów tak, żeby cztery wierzchołki w jednej płaszczyźnie nie miały tego samego koloru. Przy dwuwymiarowym kwadracie niedozwolone jest więc narysowanie wszystkich boków na zielono, a przekątnych na czerwono.
Słowo "wymiar" jest tu kluczem, bo cała zagwozdka sprowadza się do pytania: ile wymiarów można dodać, aż uzyskamy figurę, w której nie da się uniknąć niedozwolonej kombinacji połączenia wierzchołków na danej płaszczyźnie jednym kolorem. Liczba Grahama określa właśnie liczbę tych wymiarów, a raczej górną granicę przedziału, w jakim się znajduje - dokładna wartość liczby Grahama nie jest znana.
Do czego można wykorzystać te obliczenia? Autor nie ma zielonego pojęcia i nie udało mu się znaleźć takich informacji. Na ten moment jest to matematyka teoretyczna w najgłębszym tego słowa znaczeniu. Wszyscy, którzy w tym miejscu czują niesmak związany z marnowaniem sił i zasobów do obliczania takich rzeczy, muszą przypomnieć sobie początek artykułu - dla nauki XV wieku podobnie abstrakcyjne były "miliardy". Obecnie raczej nikt nie będzie kłócił się z użytecznością tego pojęcia.
Liczba Grahama jest tak duża, że nie wiadomo ile wynosi
A teraz wyobraźmy sobie największą liczbę, jaką znamy - większości zaświta pewnie w głowie anegdota z nazwą największej wyszukiwarki internetowej, dla której inspiracją było określenie na jedynkę i sto zer - googol. W porównaniu z liczbą Grahama to wciąż nic. Niektórzy będą jeszcze kojarzyć "googolplex" czyli jeden i googol zer, albo 10^GOOGOL (to dopuszczalny zapis tej liczby).
Przechodzimy do potęgowania. Kiedy w matematyce zaczęły pojawiać się naprawdę gigantyczne liczby, trzeba było wymyślić jakiś system ich skróconego zapisu. Do tego służą potęgi, które same w sobie też doczekały się kolejnych systemów pozwalających na wyrażanie jeszcze wyższych rzędów wielkości. Jednym z nich jest potęgowanie potęg (np. dziesięć do trzeciej do trzeciej), jednak i ten w pewnym momencie wymagał ulepszenia.
Powszechnie przyjął się zapis Donalda Knutha, który wprowadził tzw. notację strzałkową. Na początku działa to tak, że 3↑3 to po prostu 3³. Jeśli pójdziemy o krok dalej i dodamy jeszcze jedną strzałkę - 3↑↑3 - to teraz do sześcianu podniesiemy samą potęgę, a więc zapis będzie równoważny z 3²⁷. Można by to też zapisać jako 3 ↑ 27. Co najlepsze, dla dalszego skrócenia formy w tej notacji można potęgować same strzałki - mniej więcej widzimy już, jak "wydajna" jest ta metoda.
To jednak nie koniec. Do przeprowadzenia szacunków Grahama niezbędny był kolejny dodatek sprowadzający się do uznania, że 3↑↑↑↑3 nazwiemy dla swoich potrzeb G1. Po co nam to G1? Żeby wsadzić je w miejsce potęgi dla ↑ i przejść do kolejnych rzędów. Tutaj w końcu do czegoś przydaje się Wikipedia, która zgrabnie tłumaczy, że G2 = 3 ↑^G1 3 itd.
Liczba Grahama to G64.
W niektórych źródłach pojawiało się dość obrazowe twierdzenie - gdyby kazać komputerowi zapisać liczbę Grahama w postaci liczby naturalnej to do wykonania to zabrakłoby mocy obliczeniowych, nawet gdyby zużyć na to całą energię dostępną we Wszechświecie. Nie ma zresztą sensu dokładnie tego sprawdzać, chodzi o pokazanie wielkości skali. Z pomocą nie przychodzą nam tu żadne inne porównania. Liczba atomów we wszechświecie nie sięga nawet googolplexa, który zostawiliśmy daleko w tyle.
Dla większości ludzi liczb Grahama pozostanie równie niepojęta jak sama nieskończoność (albo nawet i bardziej), ale dobrze wiedzieć, że są ludzie, którzy swoimi umysłami są w ogóle w stanie poruszać się na takim poziomie abstrakcji. To pozwala wierzyć, że za pomocą intelektu będziemy w stanie rozwiązywać znacznie mniej skomplikowane kwestie, a ludzie potrafią dokonywać naprawdę niesamowitych, choć nie zawsze użytecznych (przynajmniej od razu) rzeczy.
Czytaj także:
Zobacz też:
