Orzeł czy reszka. Jak wygrać rzut monetą i co wypada częściej?

‌Rzut monetą - na świecie nie ma chyba popularniejszej metody losowania. W wielu jeżykach "rzut monetą" stał się synonimem podejmowania decyzji w oparciu o ślepy traf. Intuicja podpowiada, że proces jest zupełnie losowy, a każdy rzut to dokładnie taka sama szansa na wypadnięcie orła lub reszki. Ten sposób myślenia zakorzeniał się w społecznej świadomości od wieków - przynajmniej od czasów Imperium Rzymskiego, skąd pochodzą pierwsze wzmianki o tej formie losowania.

W kolejnych stuleciach metoda ani na chwilę nie traciła na popularności. Mimo że większość z nas kojarzy ją z losowania stron na początku meczów, to do dziś moneta decyduje o wielu znacznie ważniejszych kwestiach. W erze pojedynków rzut monetą decydował o tym, kto będzie walczył ze słońcem za swoimi plecami - to w oczywisty sposób zwiększało szansę zwycięzcy losowania. W 1903 roku tę samą metodę wykorzystali bracia Wright, decydując o tym, który z braci odbędzie pierwszy, historyczny lot aeroplanem.

Obecnie jednym z najbardziej newralgicznych miejsc, gdzie decyzje zapadają w grze "orzeł czy reszka" są... szpitale. Rzut monetą to podstawowa metoda dzielenia grup pacjentów w badaniach klinicznych - w zależności od wyniku rzutu część badanych otrzymuje faktyczny lek, a część trafia do grupy kontrolnej, która zwykle przyjmuje placebo. 

Zapewne nie budziłoby to większych zastrzeżeń, gdyby nie fakt, że od przynajmniej 15 lat pojawiają się analizy sugerujące, że rzut monetą wcale nie jest taki losowy...

W 2007 roku sporą sensację wywołał artykuł Persiego Diaconisa, matematyka z Uniwersytetu Stanforda, który oprócz kariery akademickiej był też zawodowym magikiem. Cały artykuł, który za darmo można znaleźć tutaj, obfituje on w skomplikowane obliczenia, jednak wnioski z nich płynące są dość proste:

Wydaje się, że to niewiele, jednak patrząc na wagę niektórych decyzji podejmowanych w ten sposób, nawet tak nieznaczne przechylenie szali na jedną ze stron może mieć daleko idące konsekwencje. Przez wiele lat wyniki Diaconisa były na zmianę krytykowane i popierane - jak twierdził sam autor, wykazanie tak małej różnicy w zgodzie z metodologią wymagałoby 250 000 rzutów.

Wielu naukowców wypowiadało się w tym temacie, jednak przez wiele lat nikt nie podjął się jednak takiej próby. Hipoteza doczekała się prawdziwej weryfikacji dopiero w 2023 roku, wyniki opublikowane 6 października w serwisie arXiv wskazują, że Diaconis miał rację.

Pomysłodawcą i pierwszym autorem badania jest Frantisek Bartos, który wraz z kolegami podrzucał monety i notował wynik każdej z 350 757 prób. Po ich podliczeniu okazało się, że moneta spadała tą samą stroną, która w momencie wyrzutu znajdowała się na wierzchu w 50,7 proc przypadków.

Różnica jest więc nieznaczna, ale zauważalna. Jeśli chcesz minimalnie zwiększyć swoje szanse, zawsze obstawiaj tę stronę monety, która jest na górze w momencie wyrzutu.

Ważne! Oba badania skupiały się na wariancie rzutu, w którym moneta ląduje w ręce lub na miękkiej powierzchni. Gdy pozwalamy monecie upaść na podłogę lub twardy blat stołu na rezultat ma wpływ siła odbicia i rotacja, której dostaje metalowy krążek - dodatkowe parametry, które wpływają na końcowy wynik.

Jeżeli rzut wykonuje ktoś inny, a ty tylko obstawiasz wynik - powyższy akapit wyjaśnia, jak możesz zwiększyć swoje szanse. Nie jest to oczywiście żadna gwarancja, ale wykorzystanie minimalnej przewagi. W liczbach wygląda to tak, że po obstawieniu 1000 rzutów zgodnie z zasadą "wygrywa strona na wierzchu" statystycznie zarobilibyśmy 19 dolarów. Stawka jednego zakładu to 1 dolar.

Swoje szanse możemy zwiększyć o wiele bardziej, jeżeli oprócz bycia stroną zakładu, jesteśmy też odpowiedzialni za rzut. Przy minimalnym przeszkoleniu, wynik rzutu może być w dużym stopniu zależny od decyzji rzucającego, co eliminuje oczekiwany wynik 50:50 i pozwala na manipulację pozornie losowym wydarzeniem. Tak przynajmniej sugeruje inne badanie, w którym udział wzięło 13 rezydentów otolaryngologii z Vancouver.

Badanie było wyjątkowo proste - każdy uczestnik wykonywał 300 rzutów. Wcześniej zostali poinstruowani, że ich celem jest wyrzucenie jak największej ilości "reszek". Dwie osoby z najwyższymi wynikami miały otrzymać bony do kawiarni na 20 i 10 dolarów - pojawił się więc element nagrody.

Wyniki były dość zaskakujące, wszyscy z 13 badanych po zakończeniu serii rzutów mieli na koncie więcej reszek niż orłów. 7 na 13 wyników było statystycznie istotnych (wartości powyżej tzw. prawdopodobieństwa testowego - (p)), a u zwycięzcy reszki stanowiły aż 68 proc. wszystkich rzutów. Interpretacja wyników zamyka się w dwóch zdaniach, które możemy tu zacytować w całości:

Niektórzy ludzie są w stanie skutecznie manipulować monetą podczas rzutu. Poddaje to w wątpliwość zasadność używania tej metody do uzyskiwania przypadkowego wyniku.

---

Nie można wykluczyć, że autorzy mają rację i rzut monetą to umiejętność, którą można wyćwiczyć. Ze względu na ogromną ilość zmiennych - od siły pstryknięcia, prędkości kątowej, rotacji, aż po wilgotność powietrza, pot na dłoni czy opory aerodynamiczne - osiągnięcie 100 proc. skuteczności będzie raczej niemożliwe. Nie trzeba jednak wypracować idealnej powtarzalności, żeby zakwestionować losowość rzutu monetą - w zupełności wystarczy tu wynik na poziomie 60-65 proc.

Opisane powyżej badania wydają się dość proste, co najwyżej czasochłonne. W praktyce ich autorzy (szczególnie widać to w artykule Diaconisa) wznosili się na wyżyny swoich umiejętności matematycznych, próbując uwzględnić w równaniach dziesiątki, jeśli nie setki zmiennych. Do testów wykorzystano też ultraczułe kamery do poklatkowej analizy każdego rzutu - pamiętajmy, że mówimy o roku 2007, kiedy taki sprzęt oczywiście już istniał, jednak był znacznie droższy i bardziej toporny w obsłudze niż dzisiejsze aparaty.

Podczas lektury źródeł, autora tekstu zastanowił fakt, że Diaconis nie wziął pod uwagę specyficznej sytuacji znanej z filmików krążących po internecie - monety, która ląduje na krawędzi. Co prawda pytanie straciło na aktualności kilka akapitów dalej, gdzie naukowcy wyjaśniali, że monety nie spadały na twardą powierzchnię. Ciekawość jednak została.

Z pomocą przyszedł kolejny artykuł, jeszcze starszy, bo z 1993 roku. Równo 30 lat temu tą kwestią zajęli się panowie Murray i Teare z Amerykańskiego Towarzystwa Fizycznego, którzy obliczyli, że szanse na zatrzymanie się podrzuconej monety na krawędzi bocznej wynoszą 1:6000.

Na koniec mała ciekawostka z domowego podwórka - w 2002 roku Tomasz Gliszczyński i Wacław Zawadowski, matematycy pracujący wówczas w Siedlcach podzielili się swoimi obserwacjami dotyczącymi podrzucania jednego euro w wariancie belgijskim (z portretem króla Alberta).

Eksperyment miał sprawdzić, czy nierówny rozkład wagi (po stronie z portretem jest więcej metalu) wpłynie na rozkład prawdopodobieństwa. Prób nie było zbyt wiele (250), jednak media podchwyciły ten temat, na początku stycznia 2002 pisały o tym największe światowe wydania - CNN, The Guardian, The Telegraph, Wired czy New Scientist. 

Mimo że ostatecznie hipoteza nie została potwierdzona, zamieszanie było na tyle duże, że brytyjskie media zaczęły przestrzegać przed tym faktem drużyny, które miały grać z Belgią w eliminacjach do Mistrzostw Świata w Korei i Japonii.

Czerwone Diabły awansowały do turnieju. Belgowie odpadli w 1/8 z późniejszymi triumfatorami - Brazylią.

Źródła: www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2789164/; www.arxiv.org/abs/2310.04153; www.statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/papers/dyn_coin_07.pdf; nationworldnews.com/the-myth-of-the-impartiality-of-a-coin-tossed-in-the-air-is-over/; www.newscientist.com/article/dn1748-euro-coin-accused-of-unfair-flipping/

CZYTAJ TEŻ: Masz dość spotkań online? SI odbębni je za ciebie!